18  มันเกี่ยวกับmorphismทั้งหมด (Sketch)

ถ้าผมไม่ได้ทำให้คุณมั่นใจว่าทฤษฎีcategoryนั้นเกี่ยวกับmorphismทั้งหมดแล้วผมก็ยังไม่ได้ทำงานของผมอย่างถูกต้อง เนื่องด้วยหัวข้อต่อไปคือadjunctionที่ถูกนิยามในแบบของisomorphismของhom-set มันมีเหตุมีผลในการทบทวนความเข้าใจของเราเกี่ยวกับส่วนก่อสร้างของhom-set แล้วก็คุณจะเห็นว่าadjunctionให้มากกว่าภาษาทั่วไปในการบรรยายการสร้างหลายๆแบบที่เราได้ศึกษามาก่อนหน้านี้ ดังนั้นมันอาจจะช่วยในการทบทวนพวกมันด้วย

18.1 Functors

เริ่มต้นคุณควรที่จะคิดถึงfunctorในฐานะการโยงของmorphism (มุมมองที่เน้นย้ำในนิยามในHaskellของtypeclassFunctorที่หมุนรอบfmap) แน่นอนว่าfunctorสามารถโยงวัตถุ(จุดปลายของmorphism)อีกอย่างหนึ่งเราอาจจะไม่สามารถในการพูดถึงการคงไว้ในการประกอบ วัตถุบอกเราว่าคู่ตัวใหนของmorphismนั้นสามารถประกอบได้ เป้าของmorphismนึ่งต้องเท่ากับจุดเริ่มต้นของอีกตัวหนึ่ง ถ้าพวกมันจะถูกประกอบ ดังนั้นถ้าเราต้องการประกอบกันของmorphismในการโดนถูกโยงไปยังการประกอบกันของmorphismที่ถูกlift การโยงของจุดปลายของพวกมันนั้นก็แทบจะถูกกำหนดแล้ว

18.2 DiagramของการCommute

คุณสมบัติหลากหลายต่างของmorphismถูกแสดงในรูปของdiagramของการcommute ถ้าบางmorphismสามารถถูกอธิบายในฐานะการประกอบกันของmorphsimอีกกันในวิธีการมากกว่าหนึ่งแล้วเราจะมีdiagramของการcommute

โดยเฉพาะ diagramของการcommuteก่อให้เกิดพื้นฐานของแทบทุกๆการสร้างแบบสากล (ที่มีข้อยกเว้นที่น่าสนใจอย่างวัตถุเรื่มต้นและวัตถุสุดท้าย) เราได้เห็นแล้วว่าในนิยามของproduct coproductและ(co-)limitมากมาย วัตถุexponential monoidแบบfree และอื่นๆ

productนี้คือตัวอย่างที่เรียบง่ายของการสร้างแบบสากล เราเลือกสองวัตถุ$a$และ$b$และเห็นถ้าได้มีวัตถุ$c$รวมกันกับคู่ของmorphism$p$และ$q$ที่มีคุณสมบัติสากลชองการเป็นproductของพวกมัน

productคือกรณีพิเศษของlimit limitถูกนิยามในรูปแบบของcones coneแบบทั่วไปถูกสร้างจากdiagramของการcommute ความcommutativeของdiagramเหล่านี้อาจจะถูกแทนที่ด้วยเงื่อนไขความเป็นธรรมชาติสำหรับการโยงของfunctor ความcommutativeแบบนี้ถูกลดไปเป็นบทบาทของภาษาassemblyสำหรับภาษาที่อยู่ขั้นสูกกว่าของการแปลงแบบธรรมชาติ

18.3 การแปลงแบบธรรมชาติ

โดยทั่วไปแล้วการแปลงแบบธรรมชาตินั้นสะดวกอย่างมากในตอนที่เราต้องการที่จะโยงจากmorphismไปยังสี่เหลี่ยมของการcommute ด้านตรงข้ามทั้งสองของสี่เหลี่ยมของการcommuteคือการโยงของบางmorphism$f$ภายใต้สองfunctorอย่าง$F$และ$G$ ในอีกด้านหนึ่งคือส่วนประกอบของการแปลงแบบธรรมชาติ (ที่ก็คือmorphism)

ความเป็นธรรมชาติหมายความว่าในตอนที่คุณเคลื่อนที่ไปยังส่วนประกอบ”รอบๆ”(โดยสิ่งรอบๆผมหมายความว่าถูกเชื่อมโดยmorphism)คุณไม่ได้ทำสวนกับโครงสร้างของทั้งcategoryหรือfunctor มันไม่สำคัญ ถ้าคุณใช้ส่วนประกอบของของการแปลงแบบธรรมชาติก่อนในการเชื่อมข้่องว่าระหว่างวัตถุแล้วก็กระโดดไปยังส่วนรอบๆของมันโดนการใช้functorหรือในอีกทางหนึ่ง ทิศทางทั้งสองนั้นตั้งฉากกัน การแปลงแบบธรรมชาติเคลื่อนด้านช้ายของคุณไปยังด้านขวาและfunctorเคลื่อนคุณไปด้านบนและล่างหรือข้านหน้าและกลับหลัง จะว่าไปแล้ว คุณสามารถที่จะนึกภาพimageของfunctorในฐานะแผ่นในcategoryป้าหมาย การแปลงแบบธรรมชาติโยงแผ่นแบบนี้ที่คู่กับ$F$ไปยังอีกอันหนึ่งที่คู่กับ$G$

เราได้เห็นตัวอย่างของความตั้งฉากกันในHaskell นัน้คือการกระทำของfunctorที่แก้ไขสิ่งที่อยู่ในภาชนะโดยที่ไม่ต้องเปลี่ยนรูปทรงของมัน ในขณะเดียวกันการแปลงแบบธรรมชาติ ทำการบรรจุใหม่สิ่งที่อยู่ข้างในที่ไม่ได้ถูกแตะไปยังภาชนะที่ต่างกัน ในลำดับของการกระทำแบบนี้ไม่สำคัญ

เราได้เห็นconeต่างๆในนิยามของlimitแทนที่โดยการแปลงแบบธรรมชาติ ความเป็นธรรมชาติรับรองว่าด้านข้างของทุกๆconeนั้นcommuteกัน แต่limitนั้นถูกนิยามในรูปแบบของการโยงระหว่างcone การโยงแบบนี้ต้องก็บรรลุเงื่อนไขของความเป็นcommute (ตัวอย่างเช่นสามเหลี่ยมต่างๆในนิยามของproductต้องcommute)

เงื่อนไขเหล่านี้ก็อาจจะถูกแทนที่โดยความเป็นธรรมชาติ คุณอาจจะจำได้ว่าconeสากลหรือlimitถูกนิยามในฐานะการแปลงแบบธรรมชาติระหว่างhom-functorแบบ(contravariant)

$$F::c\to \mathbf{\text{C}}(c,limD)$$

และก็functorแบบ(contravariant)ที่โยงวัตถุใน$C$ไปยังconeที่พวกมันเองคือการแปลงแบบธรรมชาติ

$$G::c\to \mathbf{\text{Nat}}({\mathrm{\Delta }}_c,D)$$

ในที่นี้${\mathrm{\Delta }}_c$คือfunctorที่คงที่และ$D$คือfunctorที่นิยามdiagramใน$\mathbf{\text{C}}$ ทั้งสองfunctor$F$และ$G$มีการกระทำที่ถูกนิยามอย่างถูกต้องบนmorphismใน$\mathbf{\text{C}}$ มันเป็นว่าการแปลงแบบธรรมชาติโดยเฉพาะนี้จาก$F$ไปยัง$G$คือisomorphism

18.4 Isomorphismแบบธรรมชาติ

Isomorphismแบบธรรมชาติ(ที่คือการแปลงแบบธรรมชาติที่ทุกๆส่วนประกอบนั้นสามารถinvertได้) คือวิธีการของทฤษฎีcategoryในการบอกว่า”สองสิ่งนั้นเหมือนกัน” ส่วนประกอบของการแปลงแบบนี้ต้องเป็นisomorphismระหว่างวัตถุ(morphismที่มีinverse) ถ้าคุณนึกภาพimageของfunctorในฐานะแผ่น isomorphismแบบธรรมชาติคือการโยงระหว่างแผ่นเหล่านี้

18.5 Hom-Sets

แต่อะไรคือmorphismต่างๆ พวกมันมีโครงสร้างมากว่าวัตถุคือไม่เหมือนวัตถุ morphismมีด้านจบสองด้าน แต่ถ้าคุณคงไว้ของวัตถุที่เป็นแหล่งและวัตถุเป้าหมาย morphismระหว่างของทั้งสองก่อให้เกิดsetที่หน้าเบื่อ(อย่างน้อยสำหรับcategoryขนาดเล็กแบบlocal) เราสามารถให้ชื่อกับสมาชิกของsetเหล่านี้อย่าง$f$หรือ$g$ ในการแยกแยะตัวหนึ่งไปยังอีกตัวหน่ึง แต่มันคืออะไรโดยจริงๆแล้วที่ทำให้พวมมันแตกต่าง?

ตวามแตกต่างอย่างเป็นเนื้อแท้ระหว่างmorphismต่างๆในhom-setที่ให้มาอยู่มนวิธีการที่พวกมันประกอบกับmorphismอีกตัว(จากhom-setใกล้เคียง) ถ้าได้มีmorphism$h$ที่การประกอบกัน(จะเป็นทั้งก่อนและหลัง)กับ$f$นั้นแตกต่างกับ$g$ในตัวอย่างเช่น

$$h\circ f\ne h\circ g$$

แล้วเราสามารถ”สังเกต”อย่างตรงๆของความแตกต่างระหว่าง$f$และ$g$แต่ถึงแม้ถ้าความแตกต่างจะไม่สามารถถูกสังเกตอย่างตรงๆ เราอาจจะใช้functorในการขยายhom-setออกมา functor$F$อาจจะโยงmorphismทั้งสองไปยังmorphismที่แตกต่าง

$$Ff\ne Fg$$

ในcategoryที่อุดมกว่าหที่hom-setใกล้เคียงให้รายเอียดที่ชัดเจนกว่ากับเราอย่าง

$$$$

ที่ $h^{\prime }$ไม่ได้อยู่ในimageของ$F$

18.6 IsomorphismของHom-Set

การสร้างแบบcategoryนั้นขึ้นอยู่กับisomorphismระหหว่างhom-sset แต่เนื่องด้วยhom-setนั้นคือแค่set isomorphicเปล่าๆระหว่างพวมมันไม่ได้บอกอะเรามากนัก สำหรับsetที่มีสมาชิกจำกัด isomorphismแค่บอกว่าพวมมันมีจำนวนสมาชิกเดียวกัน ถ้าsetนั้นมีจำนวนไม่จำกัด cardinalityของพวกมันต้องเท่ากัน แต่isomorphismของhom-setใดๆก็ได้ที่มีความหมายต้องนำการแประกอบกันเข้ามาพิจารณาด้วย และการประกอบกันเกี่ยวพันมากกว่าhom-setหนึ่ง เราต้องนิยามisomorphismที่ครอบคลุมชุดของhom-setทั้งหมด และเราต้องกำหนดให้มีเงื่อนไขของความเข้ากันได้ที่ทำงานร่วมกันกับการประกอบกัน และisomorphismแบบธรรมชาติตรงกันกับคุณสมบัติที่ให้มาอย่างแม่นยำ

แต่อะไรคือisomorphismแบบธรรมชาติของhom-set? ความเป็นธรรมชาติคือคุณสมบัติของการโยงระหว่างfunctorไม่ใช่sset ดังนั้นเรากำลังพูดถึงจริงๆเกี่ยวกับisomorphismแบบธรรมชาติระหว่างfunctorแบบที่มีค่าเป็นhom-set functorเหล่านี้นั้นมากกว่าแค่functorที่มีค่าเป็นset การกระทำของพวกมันบนmorphsimนั้นถูกเกิดมาจากhom-functorที่เหมาะสม morphismนั้นถูดโยงอย่างมาตรฐาน(canonically)ไปยังhom-functorโดนการทั้งการประกอบท่อนหรือหลัง (ตาแต่ความcovarianceชองfunctor)

การembedแบบYonedaคือตัวอย่างหนึ่งของisomorphismแบบนี้ มันโยงhom-setใน$\mathbf{\text{C}}$ไปยังhom-setในcategoryของfunctorและมันก็เป็นธรรมชาติ functorหนึ่งในการembedแบบYonedaคือhom-functorใน$\mathbf{\text{C}}$และอีกตัวหนึ่งโยงวัตถุไปยังsetของการแปลงแยยธรรมชาติระหว่างhom-set

นิยามของlimitนั้นก็คือisomorphismแบบธรรมชาติระหว่างhom-set(ตัวที่สองคือในcategoryของfunctor)

$$\mathbf{\text{C}}(c,limD)\cong \mathbf{\text{Nat}}({\mathrm{\Delta }}_c,D)$$

มันกลับมาเป็นว่าการสร้างของเราคือวัตถุexponentialหรือนั้นของmonoidแบบfreeสามารถถูกเขียนใหม่ในฐานะisomorphismแบบธรรมชาติระหว่างhom-set

สิ่งนี้ไม่ใช่ความบังเอิน เราจะเห็นต่อไปว่าสิ่งเหล่านี้คือแค่ตัวอย่างที่แตกต่างกันของadjunctionที่ก็ถูกนิยามในฐานะisomorphismแบบธรรมชาติของhom-set

18.7 ความไม่สมมาตรของHom-Sets

ได้มีข้อสังเกตที่จะช่วยเราในการเช้าใจadjunction Hom-Setsโดยทั่วไปแล้วนั้นไม่สมมาตร hom-setอย่าง$\mathbf{\text{C}}(a,b)$นั้นมักจะแต่ต่างอย่างมากจากhom-setอย่าง$\mathbf{\text{C}}(b,a)$ การแสดงที่พื้นฐานที่สุดของความไม่สมมาตรคือpartial orderที่มองในฐานะcategory ในpartial order morphismจาก$a$ไปยัง$b$มีตัวตนอยู่ก็ต่อเมื่อ$a$นั้นน้อยกว่าหรือเท่ากับ$b$ ถ้า$a$และ$b$นั้นแตกต่างกัน แล้วไม่สามารถมีmorphismที่ไปในทิศทางตรงข้าม จาก$b$ไปยัง$a$ ดังนั้นถ้าhom-set$\mathbf{\text{C}}(a,b)$นั้นไม่ว่างที่ในกรณีนี้หมายความว่ามันคือsetที่มีสมาชิกหนึ่ง แล้ว$\mathbf{\text{C}}(b,a)$ต้องว่างนอกเสียจะว่า$a=b$ ลูกศรของcategoryนี้มีการเคลื่อนที่ชัดเจนในทิศทางหนึ่ง

preorderที่ขึ้นกับความสัมพันธ์ที่มาไม่จำเป็นที่ต้องantisymmetric คือก็มีทิศทาง”แทบทั้งหมด”ยกเว้นวงรอบในบางครั้ง มันสะดวกที่จะคิดถึงcategoryทั่วๆไปในฐานะการgeneralizeของpreorder

preorderนั้นคือcategoryที่บางนั้นคือทุกๆhom-setนั้นเป็นแค่setที่มี่สมาชิกเดียวหรือsetว่าง เราสามารถจินตนาการว่าcategoryทั่วๆไปในฐานะpreorderที่หนา

18.8 โจทย์ท้าทาย

1. ลองพิจารณากรณีที่เสื่อมของเงื่อนไขของความเป็นธรรมชาติและวาดdiagramที่เหมาะสม ตัวอย่างเช่นอะไรจะเกิดขึ้นถ้าfunctor$F$หรือ$G$โยงทั้งวัตถุ$a$และ$b$(ส่วนปลายของ$f::a\to b$)ไปยังวัตถุเดี่ยวกัน ตัวอย่างเช่น$Fa=Fb$หรือ$Ga=Gb$? (สังเกตว่าคุณได้coneหรือco-coneในรูปแบบนี้) แล้วพิจารณากรณีจ่างๆที่$Fa=Ga$หรือ$Fb=Gb$ สุดท้ายแล้วถ้าคุณเริ่มด้วยmorphismที่ขมวดบนตนเองอย่าง$f::a\to a$?