32  Monads Monoids และ Categoryต่างๆ (Sketch)

ไม่มีที่ใหนที่เหมาะสมกับจากจบหนังสือที่เกี่ยวกับทฤษฎีcategory ได้มีสิ่งใหม่ที่ต้องเรียนรู้ตลอดเวลา ทฤษฎีcategoryเป็นวิชาที่กว้าง ในเวลาเดียวกันมันชัดเจนว่ามีธีม แนวคิดและรูปแบบเดียวกันได้โผล่ออกมาหลายต่อหลายครัง ได้มีคำกล่าวว่าทุกๆแนวคิดคือแนวคิดทั้งหมดคือส่วนขยายKan และแน่นอนว่าคุณสามารถใช้ส่วนขยายKanในการได้มาซึ่งlimits, colimits, adjunctions, monads, Yoneda lemmaและอื่นๆ ความเป็นcategoryมันเองโผล่มาในทุกระดับของabstraction และแนวคิดของmonoidและmonadก็เช่นกัน แล้วอะไรคือสิ่งที่พื้นฐานที่สุดละ? มันกลับมาเป็นว่าพวกมันนั้นมีความสัมพันธ์ระหว่างกัน สิ่งหนึ่งนำไปยังอีกสิ่งหนึ่งในวงจรที่ไม่มีที่สิ้นสุดของการabstractions ผมตัดสินใจว่าการแสดงความสัมพันธ์ระหว่างกันเหล่านี้อาจจะเป็นวิธีที่ดีในการจบหนังสือเล่มนี้

32.1 Bicategories

หนึ่งในด้านที่ยากที่สุดของทฤษฎีcategoryนั้นคือการเปลี่ยนมุมมองไปมา ลองนำcategoryของsetเป็นตัวอย่าง เราได้ใช้ในการนิยามsetในรูปแบบของสมาชิก setว่างนั้นไปมีสมาชิก setที่มีสมาชิกเดียวก็มีสมาชิกเดียว productแบบCartesianของสองsetคือsetของคู่และอื่นๆ แต่ในตอนที่เราพูดเกี่ยวกับcategory$\mathbf{\text{Set}}$ ผมของให้คุณได้ลืมเกี่ยวกับเนื้อหาของsetและหันมาสนใจบนmorphisms(ลูกศร)ระหว่างพวกมัน คุณนั้นได้รับอณุญาติ ในบางเวลาในการส่องเข้าไปภายใต้สิ่งคลุมอยู่ในการดูว่าการสร้างแบบสากลบางประเภทใน$\mathbf{\text{Set}}$ถูกอธิบายในรูปแบบของสมาชิกต่างๆ วัตถุสุดท้ายกลายมาเป็นsetที่มีสมาชิกเดียวและอื่นๆ แต่สิ่งเหล่านี้เป็นแค่การตรวจสอบให้มั่นใจ

functorถูกนิยามในฐานะการโยงของcategoryต่างๆ มันเป็นธรรมชาติในการพิจารณาการโยงในฐานะmorphismในcategory functorกลายมาเป็นmorphismในcategoryของcategoryต่างๆ(categoryขนาดเล็ก ถ้าเราต้องการที่จะหลีกหนีเกี่ยวกับขนาด) โดนการมองfunctorในฐานะลูกศร เราละทิ้งข้อมูลเกี่ยวกับการกระทำของมันบนส่วนที่อยู่ข้างในของcategory(นั้นคือวัตถุและmorphisms)แค่เหมือนกับการที่เราละทิ้งข้อมูลเกี่ยวกับการกระทำของfunctionบนสมาชิกของsetในตอนที่เรามองมันในฐานะลูกศรใน$\mathbf{\text{Set}}$ แต่functorระหว่างสองcategoryใดๆก็ตามก็ก่อให้เกิดcategory ในเวลานี้คุณถูกถามในการพิจารณาบางอย่างที่เคยเป็นลูกศรในcategoryหนึ่งในการเป็นวัตถุของอีกตัวหนึ่ง ในcategoryแบบfunctor functorคือวัตถุและการแปลแบบธรรมชาติคือmorphisms เราได้ค้นพบว่าสิ่งเดียวกันสามารถเป็นลูกศรในcategoryหนึ่งและเป็นวัตถุในอีกตัวหนึ่ง มุมมองแบบตรงๆของวัตถุในฐานะคำนามและลูกศรในฐานะคำกริยาไม่ถูกต้องอีกแล้ว

แทนที่จะสลับระหว่างสองมุมมอง เราสามารถพยายามในการรวมพวกมันไปเป็นตัวหนึ่ง นี้คือวิธีการที่เราจะได้มาซึ่งแนวคิดของ$\mathbf{\text{2}}$-categoryที่วัตถุนั้นถูกเรียกว่า$0$-cell morphismคือ$1$-cellsและmorphismระหว่างmorphismsคือ$2$-cells

$0$-cellคือ $a,b$ $1$-cellsคือ$f,g$และ$2$-cellคือ $\alpha$

categoryของcategory$\mathbf{\text{Cat}}$ นั้นคือตัวอย่างที่ชัดเจน เรามีcategoryในฐานะ$0$-cell functorในฐานะ$1$-cell และการแปลงแบบธรรมชาติในฐานะ$2$-cell กฎต่างๆของ$\mathbf{\text{2}}$-categoryบอกเราว่า$1$-cellระหว่างสอง$0$-cellไดๆก็ตามก่อให้เกิดcategory(ในอีกความหมายหนึ่ง$\mathbf{\text{C}}(a,b)$คือhom-categoryแทนที่จะเป็นhom-set) สิ่งนี้เข้ากันได้ดีกับเงื่อยไขของเราก่อนหน้านี้ที่functorระหว่างสองcategoryใดๆก็ตามก่อให้เกิดcategoryแบบfunctor

โดยเฉพาะเช่น $1$-cellจาก$0$-cellsใดๆก็ตามกลับไปหาตนเองก็ก่อให้เกิดcategory hom-category$\mathbf{\text{C}}(a,a)$ แต่categoryนั้นมีโครงสร้างมากกว่า สมาชิกของ$\mathbf{\text{C}}(a,a)$สามารถถูกมองในฐานะลูกศรใน$\mathbf{\text{C}}$หรือในฐานะวัตถุใน$\mathbf{\text{C}}(a,a)$ ในฐานะลูกศร พวกมันสามารถถูกประกอบในระหว่างตัวมันเอง แต่ในตอนที่เรามองของพวกมันในฐานะวัตถุ การประกอบกันกลายมาเป็นการโยงระหว่างคู่ของวัตถุไปยังวัตถุ ในความเป็นจริงมันดูเหมือนอย่างมากกับproduct (ถ้าให้แม่นยำมันคือเป็นproductแบบtensor) productแบบtensorนี้มีunitคือ$1$-cellที่เป็นidentity มันกลับมาเป็นว่าใน$\mathbf{\text{2}}$-category hom-category $\mathbf{\text{C}}(a,a)$นั้นคือcategoryแบบmonoidโดยอัตโนมัติกับproductแบบtensorนิยามในฐานะการประกอบกันของ$1$-cell กฏการสลับหมู่และunitก็ตามมาจากกฏของcategoryที่เป็นคู่กัน

เรามาดูว่าสิ่งนี้หมายความว่าอะไรในตัวอย่างมาตราฐานของ$\mathbf{\text{2}}$-category$\mathbf{\text{Cat}}$ hom-category $\mathbf{\text{Cat}}(a,a)$คือcategoryของendofunctorsบน$a$ การปรพะอบกันของendofunctorsมีบทบาทของproductแบบtensorในมัน functor identityคือunitของproductนี้ เราได้เห็นมาก่อนหน้านี้ว่าendofunctorก็ให้เกิดcategoryแบบmonoid(เราฝช้ความจริงในนิยามของmonad) แต่ในตอนนี้เราเห็นว่านี้คือปรากฏการณ์ที่ทั่วไปมากกว่านี้คือ endo-1-cellsใน$\mathbf{\text{2}}$-categoryใดๆก็ตามก่อให้เกิดcategoryแบบmonoid เราจะกลับมากันในสิ่งนี้ในภายหลังในตอนที่เราได้วางนียแบบทั่วไปของmonad

คุณอาจจะจำได้ว่าในcategoryแบบmonoidทั่วไป เราไม่ได้ย้ำถึงกฏของmonoidที่ถูกบรรลุแบบตรงๆ มันนั้นมักจะเพียงพอแล้วสำหรับกฏของunitและกฏการสลับกลุ่มในการที่จะถูกบรรลุจนไปถึงisomorphism ในง$\mathbf{\text{2}}$-category กฏทางmonoidใน$\mathbf{\text{C}}(a,a)$ตามมาจากกฎการประกอบกันของสำหรับ$1$-cell กฏเหล่านี้นั้นเคร่งครัด ดังนั้นเราจะได้มาซึ่งcategoryแบบmonoidที่เคร่งครัดโดยตรอด แต่มันนั้นเป็นไปได้ในการผ่อนกฏเหล่านี้ไปด้วยกัน ตัวอย่างเช่นเราสามารถพูดได้ว่าการประกอบกันของ$1$-cell identity ${\mathrm{id}}_a$กับอีก$1$-cell$f::a\to b$นั้นisomorphicแทนที่จะเท่ากับ$f$ isomorphismของ$1$-cellนั้นถูกนิยามโดยการใช้$2$-cell ในอีกความหมายหนึ่งได้มี$2$-cellอย่าง

$$\rho ::f\circ {\mathrm{id}}_a\to f$$

ที่มีinverse

กฎidentityในbicategoryนั้นอยู่จนไปถึงisomorphism($2$-cellที่สามารถinvertได้$\rho$)

เราสามารถทำแบบเดียวกันสำหรับidentityด้านช้ายและกฏการสลับกลุ่ม $\mathbf{\text{2}}$-category ที่ไม่เคร่งครัดมากถูกเรียกว่าbicategory(ได้มีกฏความสอดคล้องกันที่ผมจะละเว้นไว้ในที่นี้)

ในการที่คาดไว้ endo-$1$-cellในbicategoryก่อให้เกิดcategoryแบบmonoidทั่วไปที่มีกฏที่ไม่เคร่งครัด

ตังอย่างที่สำคัญของbicategoryคือcategoryของspan spanระหว่างสองวัตถุ$a$และ$b$คือวัตถุ$x$และคู่ของmorphisms

$$\begin{array}{c}f::x\to a\\ g::x\to b\end{array}$$

คุณอาจจะจำได้ว่าเราได้ใช้spanในนิยามของproductแบบcategory ในที่นี้เราต้องการที่จะมองในที่spansในฐานะ$1$-cellในbicategory เริ่มแรกคือการนิยามการประกอบกันของspans

$$\begin{array}{c}{f}^{\prime }::y\to b\\ g^{\prime }::y\to c\end{array}$$

การประกอบกันควรที่จะเป็นspanที่สมากับบางยอด$z$ ตัวเลือกที่เป็นธรรมชาติที่สุดสำหรับมันคือpullbackของ$g$กับ$f^{\prime }$ จำได้ว่าpullbackคือวัตถุ$z$คู่กับสองmorphismsอย่าง

$$\begin{array}{c}h::z\to x\\ h^{\prime }::z\to y\end{array}$$

ในการที่ว่า

$$g\circ h=f^{\prime }\circ h^{\prime }$$

ที่เป็นสากลกับวัตถุทั้งหมดแบบนี้

ต่อจากนี้เรามาเพ่งเล็งไปยังspansบนcategoryของset ในกรณีนี้ pullbackคือแค่setของคู่$(p,q)$จากproductแบบCartesian $x\times y$ในแบบที่ว่า

$$gp=f^{\prime }q$$

morphismระหว่างสองspanที่มีด้านจบเดียวกันนั้นถูกนิยามในฐานะmorphism$h$ระหว่างปลายของมัน ในการที่ว่าtriangleที่เหมาะสมcommuteกัน

โดยสรุปแล้วในbicategory$\mathbf{\text{Span}}$ $0$-cellคือset $1$-cellsคือspan $2$-cellคือmorphismของspan $1$-cell identityคือspanแบบลดรูป(degenerate)ที่ทั้งสมวัตถุนั้นคือตัวเดียวกันและสองmorphismคือidentity

เราได้เห็นอีกตัวอย่างหนึ่งของbicategoryก่อนหน้านี้คือbicategory$\mathbf{\text{Prof}}$ของprofunctiosที่ $0$-cellคือcategory $1$-cellคือprofunctorและ$2$-cellคือการแปลงแบบธรรมชาติ การประกอบกันของprofunctorนั้นให้มาโดยcoend

32.2 Monads

จนถึงตอนนี้คุณควรที่จะมีความคุ้นชินกับนิยามของmonadในฐานะmonoidในcategoryของendofunctors เรากลับมาหานิยามนี้อีกครั้งกับความเข้าใจใหม่ว่าcategoryของendofunctorsคือแค่hom-categoryขนาดเล็กหนึ่งของendo-1-cells ในbicategory$\mathbf{\text{Cat}}$เรารู้ว่ามันคือcategoryแบบmonoidที่productแบบtensorมาจากการประกอบกันของendofunctor monoidนั้นถูกนิยามในฐานะวัตถุในcategoryแบบmonoid(ในที่นี้คือก็จะเป็นendofunctor$T$)คู่กับmorphismสองตัว morphismsระหว่างendofunctorต่างๆนั้นคือการแปลงแบบธรรมชาติ morphismหนึ่งโยงunitแบบmonoid (ที่คือendofunctor identity)ไปยัง$T$

$$\eta ::I\to T$$

morphismที่สองโยงproductแบบtensor $T\otimes T$ไปยัง$T$ productแบบtensorนั้นให้มาโดยการประกอบกันของendofunctor ดังนั้นเราได้

$$\mu ::T\circ T\to T$$

เราสังเกตสิ่งนี้ในฐานะสองoperationsทำการนิยามmonad(พวกมันถูกเรียกว่าreturnและjoinในHaskell)และเรารู้ว่ากฎmonoidเปลี่ยนไปเป็นกฏของmonad

ในตอนนี้เรามามำสิ่งที่พูดถึงendofunctorออกทั้งหมดจากนิยามนี้ เราเริ่มด้วยbicategory$\mathbf{\text{C}}$และเลือก$0$-cell$a$ในมัน ในการที่เราได้เหห็นก่อนหน้านี้hom-category$\mathbf{\text{C}}(a,a)$คือcategoryแบบmonoid ดังนั้นเราสามารถนิยามmonoidใน$\mathbf{\text{C}}(a,a)$โดยการเลือก1-cell$T$และ$2$-cellอย่าง

$$\begin{array}{rl}\eta & ::I\to T\\ \mu & ::T\circ T\to T\end{array}$$

ที่บรรลุกฏของmonoid เราเรียกสิ่งนี้ว่าmonad

นั้นคือนิยามที่กว้างที่สุดของmonadโดยการใช้แค่$0$-cell $1$-cellและ$2$-cell มันลดไปยังmonadทั่วๆไปในตอนที่ใช้มันกับbicategory$\mathbf{\text{Cat}}$ แต่เรามาดูว่าเกิดอะไรขึ้นในbicategoriesอื่นๆ

เรามาสร้างmonadใน$\mathbf{\text{Span}}$ เราเลือก$0$-cellที่คือsetที่ ในสำหรับเหตุผลที่จะชัดเจนมากขึ้นหลังจากนี้ ผมจะเรียกว่า$\text{Ob}$ ต่อมาเราเลือก endo-1-cellที่คือspanจาก$\text{Ob}$ไปยัง$\text{Ob}$ มันมีsetที่จุดยอดที่ผมจะเรียกว่า$\text{Ar}$ร่วมกับสองfunctionsอย่าง

$$\begin{array}{rl}\text{dom}& ::\text{Ar}\to \text{Ob}\\ \text{cod}& ::\text{Ar}\to \text{Ob}\end{array}$$

เราจะเรียกสมาชิกของset$\text{Ar}$ว่า”ลูกศร(arrows)” ถ้าผมก็จะบอกคุณให้เรียกสมาชิกของ$\text{Ob}$ว่า”วัตถุ(object)“คุณอาจจะได้คำใบ้ว่าสิ่งนี้จะนำไปสู่อะไร สองfunctions$\text{dom}$และ$\text{cod}$กำหนดdomainและcodomainไปยัง”ลูกศร”

ในการทำให้spanของเราไปยังmonad เราต้องการสอง$2$-cell $\eta$และ$\mu$ unitแบบmonoidในกรณีนี้คือspanแบบตรงไปตรงมาจาก$\text{Ob}$ไปยัง$\text{Ob}$กับจุดยอดที่$\text{Ob}$และสองfunctions identity $2$-cell $\eta$คือfunctionระหว่างปลาย$\text{Ob}$และ$\text{Ar}$ ในอีกความหมายหนึ่ง$\eta$กำหนด”ลูกศร”ไปยังทุกๆ”วัตถุ” $2$-cellใน$\mathbf{\text{Span}}$ต้องบรรลุเงื่อนไขการสลับหมู่ในกรณีนี้

$$\begin{array}{rl}\text{dom}& \circ \eta =\mathrm{id}\\ \text{cod}& \circ \eta =\mathrm{id}\end{array}$$

ในส่วนประกอบนี้แล้วสิ่งนี้กลายมาเป็น

$$\text{dom}(\eta \text{ob})=\text{ob}=\text{cod}(\eta \text{ob})$$

ที่$\text{ob}$คือ”วัตถุ“ใน$\text{Ob}$ ในอีกความหมายหนึ่ง$\eta$กำหนดไปยังทุกๆ”วัตถุ“และ”ลูกศร”ที่domainและcodomainคือ”วัตถุ“นั้น เราจะเรียก”ลูกศร”พิเศษนี้ว่า”ลูกศรidentity”

$2$-cellตัวที่สอง$\mu$กรระทำบนการประกอบกันของspan$\text{Ar}$กับตัวมันเอง การประกอบกันนั้นถูกนิยามในฐานะpullback ดังนั้นสมาชิกของมันคือคู่ของสมาชิกจาก$\text{Ar}$(คู่ของ”ลูกศรต่างๆ”$(a_1,a_2)$) เงื่อนไขจของpullbackคือ

$$\text{cod}{a}_1=\text{dom}{a}_2$$

เราเรียกว่า$a_1$และ$a_2$ว่า”ประกอบได้“เพราะว่าdomainของตัวหนึ่งคือcodomainของอีกตัวหนึ่ง

$2$-cell $\mu$คือfunctionที่โยงคู่ของลูกศรที่สามารถประกอบกันได้$(a_1,a_2)$ไปยังลูกศรเดี่ยว$a_3$จาก$\text{Ar}$ ในอีกความหมายหนึ่ง$\mu$นิยามการประกอบกันของลูกศร

มันง่ายที่จะตรวจสอบว่ากฏmonadคู่กับidentityและกฏการสลับหมู่ตรงกับลูกศร เราได่แค่นิยามcategory(ย้ำว่าcategoryขนาดเล็กในที่วัตถุและลูกศรก่อให้เกิดset)

ดังนั้นโดยสรุป categoryคือแค่monadในbicategoryของspans

สิ่งที่สุดยอดเกี่ยวกับผลลัพธ์นี้คือว่ามันวางcategoryในระดับเดียวกันกับโครงสร้างทางพีชคณิตอย่างmonadและmonoids ได้ไม่มีความพิเศษเกี่ยวกับการเป็นcategory มันคือสองsetและสี่function ในความเป็นจริงแล้วเราไม่ต้องการsetแยกสำหรับวัตถุ เพราะว่าวัตถุสามารถถูกนิยามด้วยarrow identity(พวกมันตรงกับแบบหนึ่งต่อหนึ่ง) ดังนั้นมันคือแค่setและบางfunction เมื่อพิจารณาถึงบทบาทที่สำคัญของทฤษฎีcategoryในคณิตศาสตร์ทั้งหมด มันเป็นความเข้าใจที่ถ่อมตน

32.3 โจทย์ท้าทาย

1. ลองสร้างกฏunitและการสลับหมู่สำหรับproductแบบtensorที่ถูกนิยามในฐานะการประกอบกันของendo-1-cellsในbicategory
2. ลองทดสอบว่ากฏของmonadสำหรับmonadใน$\mathbf{\text{Span}}$ตรงกับกฏunitและการสลับหมู่ในcategoryที่ได้มา
3. ลองแสดงว่าmonadใน$\mathbf{\text{Prof}}$คือfunctor identityบนวัตถุ
4. อะไรคือalgebraแบบmonadสำหรับmonadใน$\mathbf{\text{Span}}$

32.4 บรรณานุกรม

1. BlogของPaweł Sobociński¹

(Page 342) (Page 345)

---

1. https://graphicallinearalgebra.net/2017/04/16/a-monoid-is-a-category-a-category-is-a-monad-a-monad-is-a-monoid/